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TOPICS IN ADVANCED ANALYSIS 2 (525SM)

A.A. 2019 / 2020

Periodo 
Primo semestre
Crediti 
6
Durata 
48
Tipo attività formativa 
Affine/Integrativa
Percorso 
[PDS0-2018 - Ord. 2018] comune
Syllabus 
Lingua insegnamento 

English

Obiettivi formativi 

D1. Conoscenza e capacità di comprensione: conoscere alcuni esempi fondamentali di equazioni di evoluzione non lineari alle derivate parziali ed in particolare la nozione di soluzione debole.

D2. Capacità di applicare conoscenza e
comprensione: applicare tecniche astratte di analisi funzionale ed armonica su questi esempi di equazioni

D3. Autonomia di giudizio: disporre di una solida base per affrontare fattispecie di equazioni molto generali.

D4. Abilità comunicative: essere in grado
di esprimersi in modo appropriato sui temi delle equazioni non lineari di evoluzione, con
proprietà di linguaggio e sicurezza di esposizione.

D5. Capacità di apprendimento: essere in grado di
consultare articoli di ricerca e di individuare
in essi i passaggi richiesti per la comprensione di risultati di ricerca avanzata

Prerequisiti 

Analisi Funzionale ed in particolare Spazi di Sobolev e, in generale, gli argomenti del corso di ADVANCED ANALYSIS Moduli A e B.

Contenuti 

Il corso tratta argomenti avanzati nel campo delle equazioni di evoluzione alle derivate parziali. Dopo una prima parte introduttiva su varie nozioni di analisi armonica, il corso introduce varie equazioni di evoluzione, quali Navier Stokes e Schroedinger non lineare, e si occupa del problema di esistenza con dato iniziale prefissato. Più specificamente, verranno trattati i seguenti argomenti.

Preliminari. Teorema di interpolazione di Riesz ed applicazioni. Funzione massimale di Hardy e Littlewood. Interpolazione di Marcinkiewicz. Teorema di Hardy Sobolev Littlewood. Teorema di immersione di Sobolev (caso spazi di Sobolev omogenei in spazi euclidei). Disuguaglianza di Gagliardo Nirenberg. Integrazione di Bochner (cenni). Equazione lineare del calore. Definizione di soluzioni deboli, loro esistenza ed unicità, identità dell’energia. Equazione di Navier Stokes incompressibile. Definizione di soluzioni deboli. Teorema di Leray sull’esistenza globale di soluzioni deboli in dimensioni 2 e 3. Buona positura in spazi di Sobolev. Teorema di Leray sull’unicità delle soluzioni deboli, la loro stabilità e la verifica dell’identità dell’energia in dimensione 2.
Nella seconda parte del corso verranno trattate equazioni di Schroedinger semilineari. Disuguaglianze di Strichartz (versione di Keel-Tao). Buona positura locale in H^1. Esempi con buona positura globale. Teorema di Tsutsumi sulla buona positura in L^2.

Metodi didattici 

L'attività didattica consiste di lezioni alla lavagna nelle quali il docente espone tutti i dettagli del programma, risponde alle domande degli studenti e cerca di coinvolgerli. Agli studenti vengono forniti anticipatamente gli appunti del docente.

Programma esteso 

.

Modalità di verifica dell'apprendimento 

La verifica dell'apprendimento avviene tramite un esame orale nel quale lo studente fa un seminario di 30 minuti circa su un tema concordato col docente nel corso del quale dimostra se e in quale grado riesce ad applicare in specifici e concreti contesti analoghi a quelli trattati durante il corso le idee principali presentate dal docente. Il docente potrà chiedere qualche domanda sul programma del corso

Altre informazioni 

The lecture notes and other information will be available through Moodle

Testi di riferimento 

Along with some instructor's notes, we will use the following bibliography
1) Bahouri, Chemin, Danchin: Fourier analysis and nonlinear partial differential equations. Springer
2) Cazenave: Semilinear Schrodinger Equations. Amer. Mat. Soc.
3) Cazenave, Haraux: An introduction to semilinear evolution equations. Oxford Univ.Press.
4) Chemin, Desjardins, Gallagher, Grenier: Mathematical Geophisics. Oxford Univ.Press.
5) Linares, Ponce: Introduction to nonlinear dispersive equations. Springer
6) Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press.
7) Stein: analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals. Princeton University Press.


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