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ISTITUZIONI DI MATEMATICHE II (168SM)

A.A. 2020 / 2021

Docenti 
Periodo 
Primo semestre
Crediti 
6
Durata 
48
Tipo attività formativa 
A scelta dello studente
Percorso 
[PDS0-2012 - Ord. 2012] comune
Mutuazione 
Mutuato: SM10 - 062SM - MATEMATICA II
Syllabus 
Lingua insegnamento 

Italiano

Obiettivi formativi 

D1. Conoscenza e capacità di comprensione.

Conoscere i contenuti teorici relativi a: algebra lineare, calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili, equazioni differenziali ordinarie, curve, superfici.

D2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione.

Saper operare con vettori e matrici, studiare il carattere dei punti critici, risolvere alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie, calcolare integrali multipli e di linea.

D3. Autonomia di giudizio.

Saper riconoscere i concetti matematici oggetto del programma nell'ambito delle discipline fisiche e chimiche e riconoscere le situazioni e i problemi in cui le tecniche apprese possono essere
utilizzate

D4. Abilità comunicative.

Saper utilizzare coerentemente il linguaggio e il formalismo matematico di base e saper esporre almeno le definizioni e gli enunciati in modo logico e ordinato.

D5. Capacità di apprendimento

Saper integrare autonomamente l'ascolto delle lezioni, lo studio degli appunti forniti dalla docente e l’eventuale consultazione di manuali.

Prerequisiti 

Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile.
Propedeuticità: per accedere alla prova orale di Matematica II è necessario aver superato l'esame di Matematica I con esercitazioni.

Contenuti 

Algebra lineare: spazi vettoriali euclidei. Rette e circonferenze nel piano. Rette, piani e sfere nello spazio. Sottospazi vettoriali e sistemi di generatori; definizione di vettori linearmente dipendenti e indipendenti; nozione di base di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio
vettoriale. Matrici ed operazioni relative. Rango di una matrice. Determinante di matrici quadrate. Sistemi lineari. Teoremi di Rouchè Capelli
e di Kramer. Applicazioni lineari. Matrice associata ad
un'applicazione lineare. Autovettori e autovalori di un'applicazione lineare
(e di una matrice). Il polinomio caratteristico; calcolo degli autovettori e
autovalori.
Proprietà topologiche degli spazi euclidei: distanza, norma (o modulo), prodotto
scalare, e loro proprietà. Insiemi aperti, insiemi chiusi, punti di frontiera, punti interni e punti di accumulazione. Limiti e continuità per funzioni
di più variabili:
nozione di derivata parziale e
suo significato geometrico; derivate parziali successive, teorema di Schwarz.
Derivate direzionali. Il gradiente di una funzione e suo
significato geometrico. Piano tangente e insiemi di livello. Punti critici, massimi e minimi locali e globali. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti
per i punti di estremo locale. Problemi di massimo e minimo globali.
Numeri complessi.
Equazioni differenziali: Esempi di equazioni differenziali. Equazioni
differenziali lineari del I ordine, formula risolutiva. Equazioni di
Bernoulli. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti. Spazio vettoriale delle soluzioni
di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti: determinazione di una sua base tramite lo studio del polinomio
caratteristico associato. Alcune classi di equazioni differenziali lineari del
secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee. Sistemi di equazioni
differenziali lineari a coefficienti costanti. Problemi di Cauchy per equazioni
e per sistemi.
Esempi di applicazioni di equazioni differenziali alle scienze naturali.
Calcolo integrale in più variabili: L'integrale come calcolo di un volume. Domini semplici nel piano e nello spazio. Teorema di riduzione
di Fubini per il calcolo degli integrali doppi e tripli. Formule del cambio
di variabile negli integrali (coordinate polari nel piano, coordinate polari e
cilindriche nello spazio). Applicazioni: calcolo di masse, baricentri, momenti
di inerzia.
Curve semplici, chiuse, regolari e regolari a tratti. Lunghezza di una
curva, ascissa curvilinea. Integrali di linea di funzioni e di forme differenziali.
Applicazione: calcolo del lavoro di una forza.
Superfici: nozioni di base. Campi vettoriali conservativi, teorema della divergenza. Formule di Gauss-Green. Formula di Stokes. Rotore, gradiente e divergenza e loro principali proprietà.

Metodi didattici 

Lezioni frontali alla lavagna che consistono nell'esposizione dei contenuti teorici e nell'esecuzione di un congruo numero di esercizi. La partecipazione attiva degli studenti è fortemente stimolata, in particolare
nella risoluzione degli esercizi proposti.
Eventuali cambiamenti alle modalità qui
descritte, che si rendessero necessarie per garantire l'applicazione dei protocolli di sicurezza
legati all'emergenza COVID19, saranno comunicati nel sito web di Dipartimento, del Corso di
Studio e dell'insegnamento.

Programma esteso 

Algebra lineare: spazi vettoriali euclidei. Rette e circonferenze nel piano. Rette, piani e sfere nello spazio. Sottospazi vettoriali e sistemi di generatori; definizione di vettori linearmente dipendenti e indipendenti; nozione di base di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio
vettoriale. Matrici ed operazioni relative. Rango di una matrice. Determinante di matrici quadrate. Sistemi lineari. Teoremi di Rouchè Capelli
e di Kramer. Applicazioni lineari. Matrice associata ad
un'applicazione lineare. Autovettori e autovalori di un'applicazione lineare
(e di una matrice). Il polinomio caratteristico; calcolo degli autovettori e
autovalori.
Proprietà topologiche degli spazi euclidei: distanza, norma (o modulo), prodotto
scalare, e loro proprietà. Insiemi aperti, insiemi chiusi, punti di frontiera, punti interni e punti di accumulazione. Limiti e continuità per funzioni
di più variabili:
nozione di derivata parziale e
suo significato geometrico; derivate parziali successive, teorema di Schwarz.
Derivate direzionali. Il gradiente di una funzione e suo
significato geometrico. Piano tangente e insiemi di livello. Punti critici, massimi e minimi locali e globali. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti
per i punti di estremo locale. Problemi di massimo e minimo globali.
Numeri complessi.
Equazioni differenziali: Esempi di equazioni differenziali. Equazioni
differenziali lineari del I ordine, formula risolutiva. Equazioni di
Bernoulli. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti. Spazio vettoriale delle soluzioni
di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti: determinazione di una sua base tramite lo studio del polinomio
caratteristico associato. Alcune classi di equazioni differenziali lineari del
secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee. Sistemi di equazioni
differenziali lineari a coefficienti costanti. Problemi di Cauchy per equazioni
e per sistemi.
Esempi di applicazioni di equazioni differenziali alle scienze naturali.
Calcolo integrale in più variabili: L'integrale come calcolo di un volume. Domini semplici nel piano e nello spazio. Teorema di riduzione
di Fubini per il calcolo degli integrali doppi e tripli. Formule del cambio
di variabile negli integrali (coordinate polari nel piano, coordinate polari e
cilindriche nello spazio). Applicazioni: calcolo di masse, baricentri, momenti
di inerzia.
Curve semplici, chiuse, regolari e regolari a tratti. Lunghezza di una
curva, ascissa curvilinea. Integrali di linea di funzioni e di forme differenziali.
Applicazione: calcolo del lavoro di una forza.
Superfici: nozioni di base. Campi vettoriali conservativi, teorema della divergenza. Formule di Gauss-Green. Formula di Stokes. Rotore, gradiente e divergenza e loro principali proprietà.

Modalità di verifica dell'apprendimento 

Il programma d'esame coincide con i contenuti delle lezioni. La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi simili a quelli svolti a
lezione. E' consentito l'uso di calcolatrici. Non è consentito l'uso di appunti o libri. Un giudizio non inferiore a 15/30 consente di accedere alla prova
orale. La consegna di una prova scritta annulla un'eventuale precedente prova scritta. La prova scritta è valida entro la sessione in cui è stata sostenuta. Nella prova orale vengono valutate, oltre alla comprensione dei
contenuti presentati nel corso, anche le capacità espositive. Il voto finale tiene conto delle prove scritta e orale.
Eventuali cambiamenti alle modalità qui
descritte, che si rendessero necessarie per garantire l'applicazione dei protocolli di sicurezza
legati all'emergenza COVID19, saranno comunicati nel sito web di Dipartimento, del Corso di Studio e dell'insegnamento.

Altre informazioni 

Per le prove scritte date negli appelli d'esame si veda http://www.dmi.units.it/~rossedi/.
Per i materiali didattici, i risultati delle prove scritte e le altre informazioni relative alla didattica, vedere il sito del corso su http://moodle2.units.it/

Testi di riferimento 

1. R. Adams, Calcolo differenziale 2, funzioni di più variabili. Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 2000.
2. G. Anichini, G. Conti, Calcolo 1,2,3, Pitagora, Bologna.
3. N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone. Analisi Matematica due, Liguori
Editore, Napoli, 1996.
4. P. Marcellini, C. Sbordone. Calcolo, Liguori Editore, Napoli, 1993.
5. P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di matematica, I vol. parte
prima, Liguori Editore, Napoli, 1993.
6. P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di matematica, II vol. parte
prima e parte seconda, Liguori Editore, Napoli, 1993.


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