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ISTITUZIONI DI MATEMATICHE (004AR)

A.A. 2019 / 2020

Periodo 
Primo semestre
Crediti 
8
Durata 
64
Tipo attività formativa 
Base
Percorso 
[PDS0-2018 - Ord. 2018] comune
Syllabus 
Lingua insegnamento 

ITALIANO

Obiettivi formativi 

Il corso si propone di introdurre gli studenti alle tecniche fondamentali del ragionamento matematico; costituiscono obiettivi nel percorso di studi:
• D1. Conoscenza e capacità di comprensione. Al termine del corso gli/le studenti/esse dovranno dimostrare conoscenza delle nozioni e degli strumenti di base dell'analisi matematica e della geometria analitica ad un livello post-secondario, caratterizzato dall’ uso di libri di testo avanzati;
• D2.Competenza di applicare conoscenza e comprensione. Gli/le studenti /esse dovranno essere in grado di utilizzare tali strumenti per l’applicazione a casi particolari, concreti o astratti, allo studio dei grafici di semplici funzioni.
• D3. Autonomia di giudizio. Gli /le studenti/esse dovranno essere in grado di trarre conclusioni dai dati raccolti, di applicare gli strumenti allo studio di fenomeni sperimentali per interpretare correttamente i dati e per afffrontare problemi più complessi;
• D4. Abilità comunicative: gli/le studenti /esse dovranno essere in grado di comunicare gli argomenti studiati con un linguaggio matematico formale corretto , utilizzando i connettivi logici adeguati e senza ambiguità.
• D5. Capacità di apprendimento Gli /le studenti /esse saranno in grado di leggere autonomamente dai testi alcuni passaggi matematici da cui ricavare i dati necessari .

Prerequisiti 

I prerequisiti saranno accertati con un test d' ingresso somministrato nella prima ora di lezione.

Contenuti 

TEORIA DEGLI INSIEMI:Insiemi,operazioni tra insiemi: unione, intersezione; sottoinsiemi; insieme delle parti; complementare di un insieme; prodotto cartesiano.
LOGICA: proposizioni, connettivi (congiunzione, disgiunzione, negazione, implicazione) e proprietà; equivalenza logica; tabelle di verità; leggi di de Morgan. Logica dei predicati:quantificatori e proprietà di base. Teoremi; ipotesi; tesi; dimostrazione per assurdo.
INSIEMI NUMERICI: I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali.
GEOMETRIA NEL PIANO E NELLO SPAZIO.Coordinate cartesiane nel piano. Punti e vettori. Distanza in uno spazio metrico; distanza euclidea sulla retta, nel piano e nello spazio; distanza del taxista. Valore assoluto. Densità di Q in R. Equazione della circonferenza: dal luogo geometrico all’equazione; equazione di un guscio sferico. Le coniche come luoghi geometrici; equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, ellisse con fuochi sull'asse x.e simmetrica rispetto gli assi cartesiani
ALGEBRA LINEARE Somma di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare scalare, prodotto scalare nel piano e nello spazio. Condizione di perpendicolarità tra vettori.Spazi vettoriali; definizione di vettori linearmente indipendenti e dipendenti; sistema di generatori di uno spazio vettoriale; base di uno spazio vettoriale; base canonica in R2 e di R3; condizione di parallelismo tra vettori. Equazione parametrica della retta,passaggio dalla forma parametrica a quella cartesiana,equazione cartesiana, equazione in forma esplicita. Condizioni di parallelismo e di ortogonalità. Distanza punto-retta. Equazione del piano noto un vettore ad esso normale ed un punto, equazione del piano noti un punto e la giacitura, equazione del piano noti tre punti; piani particolari; equazione di una retta parallela ad un vettore assegnato; parametri direttori; equazione frazionaria; retta come intersezione di due piani; relazione tra coefficienti di piano e retta; distanza di un punto da un piano.
FUNZIONI. Operazioni con i grafici, grafico del valore assoluto di una funzione nota, traslazioni verticali, Esponenziale, logaritmo di una funzione di cui si conosce il grafico. Maggioranti e minoranti; estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme di R e di una funzione. Insiemi e funzioni limitati ed illimitati Insieme aperti e chiusi,intorni, punti di accumulazione e punti isolati, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limite di polinomi e quoziente di polinomi. Teorema di unicità del limite;Teorema di permanenza del segno,Teorema del confronto. Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti singolari; Teoremi sulle funzioni continue: teorema di Weierstrass, dei valori intermedi e dell'esistenza degli zeri. Asintoti.
CALCOLO DIFFERENZIALE: Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni: somma, prodotto, quoziente. Teorema di continuità delle funzioni derivabili; cuspidi, punti angolosi, flessi a tangente verticale.Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital.
INTEGRAZIONE DI FUNZIONI : la primitiva di una funzione, l' integrale indefinito; integrazione per parti e sos

Metodi didattici 

Sono previste lezioni di tipo frontale alternate ad altre di discussione collettiva;si alterneranno lezioni in cui dalla dimostrazione generale si passerà al particolare a lezioni condotte per problemi. E' prevista l'attività di un tutore che correggerà gli esercizi proposti settimanalmente dal docente e svolti autonomamente dagli/le studenti/sse e gestirà delle sedute di lavoro di gruppo.

Programma esteso 

TEORIA DEGLI INSIEMI:Insiemi,operazioni tra insiemi: unione, intersezione; sottoinsiemi; insieme delle parti; complementare di un insieme; prodotto cartesiano.
LOGICA: proposizioni, connettivi (congiunzione, disgiunzione, negazione, implicazione) e proprietà; equivalenza logica; tabelle di verità; leggi di de Morgan. Logica dei predicati:quantificatori e proprietà di base. Teoremi; ipotesi; tesi; dimostrazione per assurdo.
INSIEMI NUMERICI: I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali.
GEOMETRIA NEL PIANO E NELLO SPAZIO.Coordinate cartesiane nel piano. Punti e vettori. Distanza in uno spazio metrico; distanza euclidea sulla retta, nel piano e nello spazio; distanza del taxista. Valore assoluto. Densità di Q in R. Equazione della circonferenza: dal luogo geometrico all’equazione; equazione di un guscio sferico. Le coniche come luoghi geometrici; equazione della parabola con asse parallelo all'asse y, ellisse con fuochi sull'asse x.e simmetrica rispetto gli assi cartesiani
ALGEBRA LINEARE Somma di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare scalare, prodotto scalare nel piano e nello spazio. Condizione di perpendicolarità tra vettori.Spazi vettoriali; definizione di vettori linearmente indipendenti e dipendenti; sistema di generatori di uno spazio vettoriale; base di uno spazio vettoriale; base canonica in R2 e di R3; condizione di parallelismo tra vettori. Equazione parametrica della retta,passaggio dalla forma parametrica a quella cartesiana,equazione cartesiana, equazione in forma esplicita. Condizioni di parallelismo e di ortogonalità. Distanza punto-retta. Equazione del piano noto un vettore ad esso normale ed un punto, equazione del piano noti un punto e la giacitura, equazione del piano noti tre punti; piani particolari; equazione di una retta parallela ad un vettore assegnato; parametri direttori; equazione frazionaria; retta come intersezione di due piani; relazione tra coefficienti di piano e retta; distanza di un punto da un piano.
FUNZIONI. Operazioni con i grafici, grafico del valore assoluto di una funzione nota, traslazioni verticali, Esponenziale, logaritmo di una funzione di cui si conosce il grafico. Maggioranti e minoranti; estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme di R e di una funzione. Insiemi e funzioni limitati ed illimitati Insieme aperti e chiusi,intorni, punti di accumulazione e punti isolati, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limite di polinomi e quoziente di polinomi. Teorema di unicità del limite;Teorema di permanenza del segno,Teorema del confronto. Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti singolari; Teoremi sulle funzioni continue: teorema di Weierstrass, dei valori intermedi e dell'esistenza degli zeri. Asintoti.
CALCOLO DIFFERENZIALE: Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni: somma, prodotto, quoziente. Teorema di continuità delle funzioni derivabili; cuspidi, punti angolosi, flessi a tangente verticale.Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital. Problemi Polinomio di Taylor. Formula del resto di Lagrange:
INTEGRAZIONE DI FUNZIONI : la primitiva di una funz

Modalità di verifica dell'apprendimento 

• L’esame e’ composto da una prova scritta in cui saranno sia formulate domande teoriche che richiesti esercizi di applicazione
• Le prove scritte che che otterranno un voto maggiore o uguale a 16/30 potranno eventualmente essere integrate da una prova orale nella stessa
sessione; tale prova potrà alzare il voto fino a cinque punti.
• Per gli studenti che frequentano il corso è previsto di sostenere l'esame in tre prove parziali sugli argomenti via via svolti

Testi di riferimento 

Robert A. Adams Calcolo Differenziale I, ed. CEA (Casa EditriceAmbrosiana) http://www.cds.caltech.edu/~marsden/volume/Calculus/

https://www.math.uh.edu/~dlabate/settheory_Ashlock.pdf

Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli

Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti “Calcolo differenziale e algebra lineare”, Mc Graw-Hill

Gli studenti che hanno frequentato negli anni passati il corso facciano tranquillamente riferimento ai testi in loro possesso.


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